08.06.22. 9 КЛАСС. АЛГЕБРА.
08.06.22. 9 КЛАСС. АЛГЕБРА.
ЗДРАВСТВУЙТЕ, УВАЖАЕМЫЕ УЧАЩИЕСЯ.
ПОВТОРЕНИЕ МАТЕРИАЛА ПО ТЕМЕ " УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ".
ПРОСМОТРИТЕ ВИДЕО УРОКИ ПО ССЫЛКЕ (ССЫЛКА В КОНЦЕ ТЕКСТА)
Неравенства по своей сути очень похожи на уравнения. Аналогично понятию целого уравнения существует понятие целого неравенства. Так называют то нер-во, в котором используются сложение и умножение, вычитание и деление, возведение в степень, но в котором нет деления на выражения с переменной. Другими словами, ни в одном знаменателе в целом нер-ве не должно быть переменных величин.
Неравенства первой степени
В общем виде неравенства первой степени выглядит так:
где а и b– некоторые числа, а х – переменная.
Естественно, вместо знака «>»могут стоять знаки « 0
Напомним, что решения неравенств традиционно записывают в виде числовых промежутков. Запись х > 3 аналогична записи х∈(3; + ∞). На числовой прямой этот промежуток выглядит так (отмечен штриховкой):
Для наглядности построим график функции у = 5х – 15 и отметим промежуток, на котором она больше нуля:
Заметим, что неравенство строгое, а потому само число 3 в его решение не входит. Из-за этого в записи (3; + ∞) первая скобка – круглая.
Пример. Решите нер-во
х ⩽ 9/(– 3) (обратите внимание, из-за деления на отрицательное число изменился знак нер-ва!)
Также построим график у = – 3х – 9 и убедимся, что мы не ошиблись:
Неравенство нестрогое, и число – 3 входит в ответ, поэтому поле него в промежутке стоит квадратная скобка.
Неравенства второй степени
Неравенства второй степени в общем виде записываются так:
Примерами таких нер-в являются
5х 2 – 3х + 19 > 0
– 12у 2 + 1,23у + 64 ⩾ 0
462z 2 + 3z– 54 2 + bx + c смотрят вверх, если коэффициент а > 0, и смотрят вниз, если а 2 + bx + c, надо решить квадратное ур-ние ах 2 + bx + c = 0. Если его дискриминант (D) больше нуля, то есть два нуля. Если D = 0, то есть только один ноль. Если D 2 + bx + c> 0
надо решить ур-ние ах 2 + bx + c = 0 и проанализировать положение графика квадратичной функции относительно оси Ох.
Пример. Найдите промежуток, на котором справедливо нер-во
2х 2 – 5х + 2 2 – 5х + 2 = 0.
D = b 2 – 4ас = (– 5) 2 – 4•2•2 = 25 – 16 = 9
Коэффициент а параболы положителен, поэтому ее ветви смотрят вверх. Сам график будет выглядеть так:
Однако нам достаточно и схематичного изображения параболы и ее нулей на координатной прямой:
Нули функции разбивают прямую на три промежутка. На каждом из них знак квадратичной функции неизменен. Отметим эти знаки:
В нер-ве стоит знак « 2 + 9х – 9 ≤ 0
Решение. Сначала находим нули параболы, решая ур-ние
D = b 2 – 4ас = 9 2 – 4•(– 2)•(– 9) = 81 – 72 = 9
Коэффициент а параболы отрицательный, поэтому ее ветви смотрят вниз. Отметим на координатной прямой нули ф-ции и схематично график параболы, а также промежуток, на котором она неположительна:
Так как нер-во нестрогое, то сами нули ф-ции входят в ответ, а потому скобки рядом с нулями – квадратные. В итоге х∊(– ∞; 1,5]∪[3; + ∞).
Пример Решите нер-во
х 2 – 2х + 1 > 0
Решение. Решим квадратное ур-ние
D = b 2 – 4ас = (– 2) 2 – 4•1•1 = 4 – 4 = 0
Дискриминант равен нулю, поэтому у ур-ния лишь 1 корень.
Парабола будет касаться прямой Ох в единственной точке, при этом ветви параболы должны смотреть вверх:
Получается, что ф-ция положительна на всей координатной прямой, кроме точки х = 1, где она обращается в нуль. Соответственно, в ответе надо указать объединение промежутков: х∊(– ∞; 1)∪(1; + ∞).
Пример. Найдите решение нер-ва
– 5х 2 + х – 100 2 + х – 100 = 0
D = b 2 – 4ас = 1 2 – 4•(– 5)•(– 100) = 1 – 2000 = – 2001
Дискриминант меньше нуля, поэтому корней не будет. Вся парабола будет находиться ниже оси Ох, так как ее ветви должны смотреть вниз из-за отрицательного коэффициента а = – 5.
Видно, что при любых значениях х левая часть нер-ва меньше нуля, то есть нер-во справедливо при х∊(– ∞; + ∞).
Метод интервалов
Ясно, что знак произведения зависит от знаков множителей. Так, если мы перемножаем три отрицательных числа и два положительных, то мы получим отрицательное произведение:
Если же отрицательных множителей два или четыре, то итоговое произведение получится положительным:
Вообще можно заметить, что если в произведении находится нечетное количество множителей (1, 3, 5, 7…), то и всё произведение отрицательно. Если же количество отрицательных множителей четно (0, 2, 4, 6, 8…), то произведение положительно. Дело в том, что при умножении отрицательных чисел действует правило «минус на минус дает плюс», то есть два минуса как бы «самоуничтожаются». Поэтому при перемножении четного количества отрицательных чисел все минусы попарно сократятся. Из этого правила есть одно исключение – если хотя бы один множитель равен нулю, то и всё произведение равно нулю, независимо от количества отрицательных сомножителей.
Пример. Решите неравенство методом интервалов:
(у – 5)(– 2у + 6)(у + 4) ≥0
Решение. Вынесем из второй скобки множитель (– 2):
(у – 5)(– 2)(у – 3)(у + 4) ≥ 0
Поделим нер-во на число (– 2). Напомним, что при делении нер-ва на отрицательную величину его знак меняется на противоположный:
(у – 5)(у – 3)(у + 4) ≤ 0
Используем метод интервалов. Отметим на координатной прямой точки, при которых каждая скобка обращается в ноль (это 5, 3 и (– 4)), и расставим знаки над получившимися промежутками:
Определить эти знаки можно, просто выбрав произвольное число из промежутка и подставив его в левую часть. Так, выберем из промежутка (– ∞; – 4) число (– 5) и получим:
(– 5 – 5)(– 5 – 3)(– 5 + 4) = (– 10)•(– 8)•(– 1) 0
Из промежутка (3; 5) возьмем число 4:
(4 – 5)(4 – 3)(4 + 4) = (– 1)•1•8 0
Итак, выражение слева меньше или равно нулю при у∊(– ∞; – 4]∪[3; 5].
Обратим внимание, что в рассмотренных примерах знаки на промежутках чередовались. Это значит, что достаточно было определить знак на одном промежутке, а дальше просто менять их при переходе через отмеченные точки. Есть один частный случай, когда такое чередование НЕ происходит. Такое возможно, если в двух скобках находится одинаковые выражения.
Пример. Решите нер-во:
(z – 5)(3z – 15)(7 – z) ≤ 0
Решение. Вынесем из второй скобки множитель 3, а из третьей – (– 1):
(z – 5)•3•(z – 5)•(– 1)•(z – 7) ≤ 0
Делим нер-во на (– 3):
(z – 5)(z – 5)(z – 7) ≥ 0
Обратите внимание – мы получили две одинаковые скобки (z – 5). Отметим на прямой нули левого выражения (это числа 5 и 7), а также знаки промежутков:
Для расстановки знаков подставим в выражение слева числа:
при z = 4 (4 – 5)(4 – 5)(4 – 7) = (– 1)•(– 1)•(– 3) 0
Получилось, что на соседних интервалах (– ∞; 5) и (5; 7) знаки совпадают, а не чередуются. Так произошло из-за того, что при переходе через точку z = 5 знак поменяла не одна, а сразу 2 скобки (х – 5).
При записи ответа надо учесть, что в задании дано нестрогое нер-во. Поэтому в ответ надо включить как промежуток [7; + ∞), так и число 5, которое обращает в нуль произведение в левой части.
Просмотрите видео урок по ссылке:
УДАЧИ! ВСЕГО ДОБРОГО!
Комментарии
Отправить комментарий